Skip to content

Antal tolvor, elvor och tior vid tretton rätt på Stryktips

July 23, 2012

Detta inlägg har uppdaterats på min nya blogg. Klicka här för den senaste versionen!

EDIT: JAG HAR SKAPAT ETT EXCEL-DOKUMENT DÄR NEDANSTÅENDE UTRÄKNINGAR GÖRS AUTOMATISKT. ÄR DU INTE ALLS INTRESSERAD AV FORMLERNA OCH DESS HÄRLEDNINGAR – KLICKA HÄR.

Eftersom jag kan en del om matematik och statistik och har ett genuint intresse av fotboll frågar ofta kompisar mig hur vinstutbetalningen för olika tipssystem slår. Exempelvis hur man räknar ut hur många rader man får med tolv, elva respektive tio rätt om man råkar ha tretton rätt på ett multiplikativt system (ofta även kallat matematiskt system, eller kortare m-system) på stryktipset (eller europatipset). Detta beror ju såklart på hur många rader man tippar för från början, men här följer en uträkning för ett system med M stycken helgarderingar och N stycken halvgarderingar (och således 13-M-N “säkra matcher”, så kallade spikar). För er som inte är intresserade av de matematiska uträkningarna ger jag er först formlerna nedan.

Formler för uträkning av antal tolvor, elvor och tior

Givet att man lyckats tippa alla tretton matcher rätt på ett system med M helgarderingar och N halvgarderingar får man undervinster enligt följande:

Antal tolvor: 2M + N,

Antal elvor: 2M(M-1) + \frac{N(N-1)}{2} + 2MN

Antal tior: \frac{4M(M-1)(M-2)}{3} + 2M(M-1)N + N(N-1)M + \frac{N(N-1)(N-2)}{6}.

Så t.ex. för ett M-4-3-648-system (ett multiplikativt system med fyra helgarderingar och tre halvgarderingar på 648 rader) får man alltså 2\cdot4+3=11 tolvor, 2\cdot4\cdot3+3\cdot2/2+2\cdot4\cdot3=51 elvor och 4\cdot4\cdot3\cdot2/3+2\cdot4\cdot3\cdot3+3\cdot2\cdot4+3\cdot2\cdot1/6=129 tior (och såklart en rad med tretton rätt) om man lyckats sätta alla matcherna.

Har man ett fel på en spik får man lika många elvor, tior och nior (nio rätt ger ju ingen utdelning dock) som tolvor, elvor och tior ovan. Har man fel på en halvgardering får man 2 tolvor och antalet elvor och tior så som antalet tolvor och elvor i formlerna fast med N utbytt mot N-1. Har man två fel går man ner ytterligare ett snäpp och multiplicerar med ett vid fel på två spikar, med två vid fel på en spik och en halvgardering (och med N utbytt mot N-1 i formlerna), samt med fyra vid fel på två halvgarderingar (N utbytt mot N-2).

Uträkningar

Här följer en ganska utförlig beskrivning på hur ovanstående formler räknats ut.

För att förenkla beskrivningen en aning – och utan förlorad generalitet – kan vi tänka oss att de M första matcherna är helgarderingar, att de N efterföljande är halvgarderingar med tecken 1X och att de påföljande 13-M-N är spikar med tecknet 1. Antag också – för förenklad beskrivning och utan förlorad generalitet – att alla tretton matcher slutar med hemmaseger, d.v.s. med tecken 1.

Antal tolvor

Det existerar ju två enkelrader som är exakt likadana som den korrekta förutom i match 1 (de rader med X eller 2:a i denna första match, men med 1:or i resterande tolv matcher). Dessa två rader innehar tolv rätt. Samma sak gäller för matcher 2 till M, vilket ger oss totalt 2M rader med tolv rätt.

För matcher M+1 till M+N ger varje fall upphov till en ny tolva. Detta ger oss N ytterligare rader med tolv rätt.

Totalt antal rader med tolv rätt blir således

2M+N

Antal elvor

Nu blir det lite mer komplicerat. Frågan är alltså hur många rader systemet innehåller med två fel, m.a.o. med elva ettor och två stycken matcher med antingen X eller 2:a?

Först, hur många rader finns det med fel i matcher 1 och 2, men rätt i resten? D.v.s. hur många rader kan bildas av att det är antingen X eller 2:a i dessa två matcher. Jo, givetvis 2 \cdot 2 = 4 rader. De M helgarderade matcherna kan kombineras på \binom{M}{2} = \frac{M(M-1)}{2} sätt (här krävs lite eftertanke, t.ex. med kombinatoriska resonemang, \binom{n}{k} utläses “n över k” och kan tolkas som hur många sätt man kan välja k bollar bland n möjliga). Således ger enkom de helgarderade matcherna upphov till 4\frac{M(M-1)}{2}=2M(M-1) rader med elva rätt (notera att man här tänker sig att M \ge 2).

På samma sätt ger enkom de halvgarderade matcherna upphov till \frac{N(N-1)}{2} elvor (då N \ge 2).

Vidare ger en mix av de hel- och halvgarderade matcherna upphov till 2MN elvor (då M,N \ge 1).

Totalt antal rader med elva rätt är alltså

2M(M-1) + \frac{N(N-1)}{2} + 2MN.

Observera att denna formel gäller även då M och/eller N är antingen 0 eller 1. De berörda termerna förvinner då (blir noll).

Antal tior

Behöver nu alltså undersöka hur många rader med tre fel systemet innehåller. D.v.s. hur många enkelrader med tio ettor och tre matcher med X eller 2:a finns det? (Påminner återigen om att termen fel här används på enkelraderna, systemet i sig antas ju innehålla tretton rätt.)

Fall 1: alla tre fel i de helgarderade matcherna (M \ge 3). Antag först att felen ligger i matcher 1, 2 och 3. Man inser då lätt att detta ger upphov till totalt åtta rader. Man kan välja tre matcher ur de M\binom{M}{3} = \frac{M(M-1)(M-2)}{6} sätt,  Alltså ger detta fall totalt 4\frac{M(M-1)(M-2)}{3} rader.

Fall 2: två fel i helgarderade matcher och ett i en halvgardering (M \ge 2,\ N \ge 1). Två fel i de helgarderade matcherna ger upphov till 2M(M-1) elvor (se ovan). En halvgardering har lika många rätta tecken (ettor) som felaktiga (kryss) när systemet skrivs ut i enkelrader. Detta felaktiga tecken kan sitta på N olika matcher. Därför fås 2M(M-1)N tior från detta fall.

Fall 3: ett fel helgardering, två fel halvgarderingar (M \ge 1,\ N \ge 2). Två fel i halvgarderingar ger upphov till \frac{N(N-1)}{2} elvor. För varje helgarderad match finns två möjliga tecken som ger fel resultat (X och 2). Eftersom det är M helgarderade matcher får man N(N-1)M rader mer tio rätt från detta fall.

Fall 4: Tre halvgarderingar fel (N \ge 3). För matcher M+1,\ M+2,\ M+3 finns bara en rad där alla halvgarderingar slår fel (X i alla tre matcherna). Tre matcher ur N kan väljas på “N över tre” sätt och vi får alltså \binom{N}{3} = \frac{N(N-1)(N-2)}{6} rader med tio rätt från detta alternativ.

Totalt antal rader med tio rätt blir då

4\frac{M(M-1)(M-2)}{3} + 2M(M-1)N + N(N-1)M + \frac{N(N-1)(N-2)}{6}.

12 Comments
  1. Tompa permalink

    Det är alltså de tre första formlerna som man ska använda? Betyder tex 2M(M-1) att man multiplicerar talen 2, M och M-1? För M=4 har man alltså 2M(M-1) =2*4*3=24?
    Jag har verkligen ingen koll på matte men skulle vilja lära mig att använda formlerna.

    • Exakt så. Jag borde kanske ha varit mer tydlig där, detta inlägg är ju till viss del tänkt även för de utan matematisk vana. Två närliggande symboler (bokstäver eller siffror) betyder multiplikation (ja inte mellan två siffror såklart, 24 betyder fortfarande tjugofyra och inget annat…). D.v.s. MN=M \cdot N till exempel.

      Och ja, det är alltså de uttrycken som gäller, bara att stoppa in tal istället för M och N.

  2. Tack så vansinnigt mycket! Formler för antalet undervinster har jag letat efter länge utan att hitta. Är du säker på att de stämmer?

    • Ja, jag skulle vilja påstå att de med all säkerhet stämmer. Dels är jag övertygad om att jag räknat rätt (egentligen inga svåra räkningar alls om man är lite van), dels har jag jämfört dem med tabellen på sidan 9 här.

  3. Björn Ingerbrigtsen permalink

    Hej Martin!
    Stort tack för din exellenta formel, excell arket samt förklaringarna.
    Perfekt att använda till min fotbollstokiga pojke med matteintresse.
    (även perfekt för mig ikväll eftersom systemet gick in)
    Hälsningar
    Britsen (go united)

    • Hej,

      verkligen roligt att någon ägnar en tanke kring formeln och uträkningarna. Lycka till med fortsatta stryktipsvinster!

  4. Bobo permalink

    Damn! Satte 11 igår och sprack på två halvgarderingar… Systemet innehåller två hela, sju halva och fyra säkra varav ett singel kryss🙂 … Är inte ett M-system…, fyra elvor är det väl! Men hur många tior? Fattar inte matte, men vad gör det så länge man vinner :-))

Trackbacks & Pingbacks

  1. Nattliga aktiviteter | Linnéa Etc.
  2. Antal tolvor, elvor och tior vid tretton rätt på Stryktips – del II « Football thoughts from Sweden

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: